Por qué la costa del Atlántico no tiene longitud

El 11 de marzo, en el salón I3-11, el profesor Omar García empezó su charla con una pregunta que sonaba a trampa: ¿cuánto mide la costa del Atlántico colombiano? Nadie se atrevió a dar un número. Hizo bien la sala, porque la pregunta no tiene respuesta.

La medición que no converge

Tomemos el tramo entre Bocas de Ceniza y Puerto Colombia y midámoslo como se mide cualquier cosa: con una regla. Si la regla mide 10 km, caminamos la costa apoyando la regla de punta a punta y contamos cuántas veces cabe. Obtenemos un número. Si repetimos con una regla de 1 km, la regla entra en bahías y salientes que la anterior se saltaba de largo, y el total sube. Con 100 m sube más. Con 1 m, más todavía.

Esto no es imprecisión que se corrija afinando el instrumento. Es lo contrario: entre más fino el instrumento, más grande el resultado, y sin techo. Lewis Fry Richardson lo notó en los años cincuenta comparando los atlas de países vecinos, que reportaban longitudes de frontera común con diferencias de hasta el 20%. Ninguno estaba mal. Estaban midiendo con reglas distintas.

Iteración 0

Regla

1

Segmentos

1

Longitud

1,000

La curva de Koch es la costa del Atlántico llevada al laboratorio: la misma estructura repitiéndose a toda escala. Después de $n$ iteraciones tiene $4^n$ segmentos de longitud $3^{-n}$, así que su longitud total es

$$L_n=4^n\cdot 3^{-n}={\left(\frac{4}{3}\right)}^n\underset{n\to \infty }{\to }\infty$$

Una curva de longitud infinita encerrada en una hoja de papel. No hay contradicción: lo que falla es la idea de que «longitud» sea la magnitud correcta para describirla.

La cantidad que sí converge

Richardson observó que, aunque el total no se estabiliza, la manera en que crece sí es estable. Si $N(\epsilon )$ es el número de reglas de longitud $\epsilon$ necesarias para cubrir la costa, entonces $N(\epsilon )\sim C{\epsilon }^{-D}$, y ese exponente $D$ no depende de la regla que escogiste. Es una propiedad de la costa. Despejándolo:

$$D=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\log N(\epsilon )}{\log (1/\epsilon )}$$

Un número entre 1 y 2. La curva es más que una línea y menos que una superficie. Eso es exactamente lo que uno siente al mirarla, y ahora tiene nombre y valor.

Los números de la costa

Estos son los datos que el profesor García proyectó en la charla, para el tramo entre Bocas de Ceniza y Puerto Colombia:

Regla $\epsilon$	Segmentos $N$	Longitud $N\epsilon$
10 km	3	30 km
5 km	7	35 km
2 km	21	42 km
1 km	48	48 km
500 m	113	56,5 km
100 m	782	78,2 km

Cifras ilustrativas, reconstruidas para esta nota a partir del orden de magnitud discutido en la charla. No son una medición oficial del litoral.

Grafica $\log N$ contra $\log (1/\epsilon )$ y los puntos caen sobre una recta. La pendiente de esa recta es $D$. Para costas reales el valor típico ronda 1,15 a 1,25; el occidente de Gran Bretaña, el caso que estudió Mandelbrot, da cerca de 1,25.

Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos.

— Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, 1982

Por qué importa fuera del tablero

Porque cualquier cosa que dependa de la longitud de una costa depende también de la escala a la que se midió, y eso hay que declararlo. Un plan de erosión costera, un cálculo de área de manglar, un modelo de dispersión de un derrame: todos arrastran ese exponente. La pregunta útil nunca es «cuánto mide», sino «cuánto mide a la escala que me importa».